Savez-vous vraiment pourquoi vous jouez à la loterie ?

Il vous est sûrement déjà arrivé de jouer aux jeux de tirages, ou peut-être même jouez-vous régulièrement, tout en sachant qu'il est peu probable de gagner le gros lot. Mais savez-vous réellement ce qui vous pousse à jouer ? Vous allez voir qu'il y a bel et bien une explication scientifique à cela.

Pourquoi les joueurs sont systématiquement désavantagés par rapport à l'organisateur de la loterie ?


Les jeux de tirage tels que le Loto, le Kéno et l'Euro Millions ont une espérance de gain négative. Cela signifie que les règles du jeu font que le joueur est mathématiquement désavantagé par rapport à l'organisateur (la FDJ en l'occurrence). Comme nous allons le voir par la suite, l’espérance de gain dans les jeux tirages est vraiment très faible et bien inférieure à celle des jeux de casino, tels que le Black Jack ou la roulette. Par exemple, lorsque vous jouez une grille de Loto à 2 euros vous allez perdre en moyenne 1 € et la FDJ gagnera 1 € (en se basant sur le taux de redistribution annoncé par la Française Des Jeux).

A la roulette en revanche, pour une mise de un euro vous ne perdrez en moyenne que 0,0139 € à chaque coup en misant sur le rouge ou le noir. Cela veut donc dire que le casino prélève en moyenne 1,39 % des sommes misées par les joueurs à ce jeu, alors que dans les jeux de tirage l'organisateur se réserve une part proche des 50 % ...

Malgré ça, de nombreux joueurs rêvent de gagner chaque semaine. Pourquoi ? Tout simplement parce que pour rendre le jeu suffisamment attrayant l'organisateur applique un principe simple et efficace : proposer un ticket à bas prix permettant de remporter un très gros lot, et en plus de ce très gros lot offrir une multitude de gains plus modestes. C'est le cas notamment de l'Euro Millions pour lequel on peut remporter un pactole avec un simple ticket à 2 euros, et avoir d’une chance supplémentaire avec le numéro MyMillion, qui a été lancé récemment pour relancer l'intérêt du jeu européen, en perte de vitesse.

L’espérance de gain : un indicateur utile


L'espérance correspond à ce qu'un joueur va gagner en moyenne au cours de plusieurs tirages. Il s’agit donc d’une valeur théorique obtenue en multipliant la probabilité de réalisation d’un événement par les gains qui lui sont associés. L'appellation d'espérance mathématique, inventée par Blaise Pascal, est liée à la loi des grands nombres, qui énonce que « la moyenne d'une série d'observations d'une variable tend vers l'espérance de cette variable, quand le nombre d'observations augmente indéfiniment ».

En d’autres termes, si on effectue une infinité - ou un « grand nombre » - de tirages on peut estimer que les gains obtenus par le joueur sont donnés par la formule de calcul de l’espérance. Remarquez que la notion d’espérance a tendance à neutraliser la dimension aléatoire du jeu dans notre esprit, puisque elle indique un montant de gain fixe. C’est donc un simple indicateur, mais il a déjà permis à certains de faire fortune (d'où l'intérêt d'envisager les choses sous l'angle des mathématique).

En effet, dans les jeux de tirage tels que le Loto, étant donné que les montants des lots sont différents à chaque tirage, l’espérance de gain est elle aussi différente à chaque fois. De nos jours, en calculant l’espérance vous verrez que généralement même en achetant tous les tickets disponibles (afin de couvrir toutes les combinaisons) vous ne gagnerez pas autant que ce que vous avez dépensé, car les organisateurs ont élaboré leurs règles très rigoureusement.

Mais en 1992 ce n'était pas le cas, et à cette époque le mathématicien et économiste Stefan Mandel en a profité pour étudier les montants des gains de plusieurs loteries en les rapportant au nombre de combinaisons possibles. Suite à quoi il a choisi le tirage de l’État de Virginie en Australie, pour lequel il a décidé d’acheter tous les tickets. Le calcul était simple : choisir 6 numéros sur 44 équivaut à l’achat de 7 059 052 grilles (soit un investissement de 7 059 052 dollars, a 1$ par grille) pour un jackpot de 28 millions de dollars, qui à la différence du Loto n’est pas partagé par les gagnants. Soit un bénéfice d’environ 20 millions de dollars (28 millions – 7 millions). Malgré tout Stefan Mandel a eu beaucoup de chance : il n’a pu acheter que 70% des tickets à temps et il a tout de même remporté le jackpot.

Comparaison des taux de redistribution dans les jeux de tirage et de l’espérance mathématique a la roulette

Comparaison des taux de redistribution dans les jeux de tirage et de l’espérance mathématique a la roulette.

Bon à savoir : certaines loteries dans d'autres pays vous offrent encore à ce jour la possibilité de jouer dans des conditions plus favorables au joueur. Vous pouvez par exemple jouer des grilles à 1 euro en Afrique du Sud pour un jackpot de plus d'un million d'euros. Vous augmentez ainsi considérablement vos chances de gain, notamment grâce au différentiel de taux de change. Grâce à notre partenaire The Lotter vous pouvez jouer ainsi en toute confiance dans plus de 48 loteries dans le monde et profiter de gains encore très importants même après la conversion des jackpots en euros. Lotolabo a sélectionné pour vous les loteries qui présentent le plus grand intérêt :

Les différents calculs de l'espérance de gain


Calculer l’espérance de gain avec certitude pour un tirage du Loto est quasiment impossible, tout simplement parce que les montants des gains sont variables pour chaque tirage, et qu'en plus ils dépendent du nombre de gagnants à chaque rang. On peut malgré tout essayer d'appliquer la formule mathématique en se basant sur les gains moyens distribués sur une période donnée. Pour le Loto, par exemple en prenant les gains moyens qui ont été observés à chacun des rangs jusqu'au 17/09/2013 et en les multipliant par leur probabilité de réalisation respective on a :

5 551 724 € x \(\begin{equation} \frac{1}{19 068 840} + \end{equation}\) 103 038 € x \(\begin{equation} \frac{9}{19 068 840} + \end{equation}\) 1 064 € x \(\begin{equation} \frac{220}{19 068 840} + ... + \end{equation}\) 7 € x \(\begin{equation} \frac{28}{19 068 840} + \end{equation}\) 2 € x \(\begin{equation} \frac{18}{19 068 840} \end{equation}\) = 1,24 €

Il s'agit de l'espérance mathématique de gain brut. Or pour espérer gagner il faut payer son « droit d'entrée pour la loterie », c'est à dire acheter un ticket à 2 euros. L'espérance mathématique de gain net est donc égale à -0,42 € (1,24 € moins les 83 % de probabilité de perdre 2 €).

Graphique des disparités de l'espérance de gain à l'Euromillions sur un échantillon de tirages
Le graphique ci-dessus en évidence les disparités de l'espérance de gain à l'Euromillions sur un échantillon des 131 meilleurs tirages. On voit que le plus gros jackpot de 24 millions d'euros correspond a une espérance de gain positive de plus de 17%...

Avec cette méthode on trouve que le joueur va perdre en moyenne 0,42 centimes d'euros pour 2 euros joués, ce qui correspond à seulement 21 % de perte. Or, ce calcul ne reflète pas la réalité. La FDJ redistribue en effet 50 % des sommes collectées, mais à l'Euro Millions 8,6% des gains sont mis de côté pour le "fond de super cagnotte"... ce qui veut dire qu'il y a de grandes disparités dans l’espérance de gain en fonction du tirage, et surtout du montant du jackpot.

On ne doit donc pas confondre le taux de redistribution qui est calculé sur un ensemble de tirages, y compris les super cagnottes et l’espérance de gain, qui est propre à chaque tirage et ne peut être calculée qu'une fois le nombre de gagnants connu.

A l'Euro Millions le taux de redistribution (c'est à dire le pourcentage des montants joués qui est redistribué aux joueurs) est de 50 % et au Keno environ 59 %.

La notion d’utilité


Le taux de redistribution est plus faible que pour les autres jeux et l'espérance de gain est absolument défavorable au joueur. Qu'est ce qui nous incite donc à jouer au Loto, à l'Euro Millions et au Keno ? Pour bien comprendre ce qui nous motive il faut prendre en compte la notion d'utilité. En effet, tout le monde ne peut pas appliquer la seule règle purement mathématique pour évaluer l’intérêt d’un jeu. Imaginons un mendiant qui possède un billet de loterie lui permettant de gagner 20 000 euros avec une probabilité de 1 chance sur 2. Plutôt que d’évaluer sa chance de gain à 10 000 euro, ce mendiant préféra vendre tout de suite ce billet si on lui en propose 9 000 euros. Un homme riche en revanche, serait mal avisé de laisser passer une occasion de gagner 20 000 euros avec un investissement de 9 000 euro, c’est pourquoi il choisira d’acheter ce même billet pour 9 000 euros.

C’est ce qu’a démontré le médecin, physicien et mathématicien suisse Daniel Bernoulli en 1738 au travers du fameux paradoxe de Saint-Pétersbourg. La règle de l’espérance ne pouvant s’appliquer universellement à chacun de nous, il en a déduit que la valeur d’un bien ne se détermine pas par son prix, mais plutôt par l’utilité qu’il procure. Le prix d’un article est le même pour tout le monde alors que l’utilité dépend des conditions particulières où nous nous trouvons. On comprend donc que de nombreux joueurs achètent des tickets de loterie car ils y trouvent une l’utilité immense : en gagnant le gros lot leur vie va certainement complètement changer, de façon positive en général.

« ...la détermination de la VALEUR d’un article ne sera pas fondée sur son prix, mais sur l’UTILITE qu’il procure. Le prix d’un article ne dépend que de l’objet lui-même ; il est le même pour toute personne ; en revanche l’utilité dépend des conditions particulières où se trouve la personne qui a la charge de l’évaluation. Ainsi il n’est pas douteux que le gain de mille ducats est plus important pour un homme pauvre que pour un riche, bien que le montant soit le même pour l’un et pour l’autre. »
Daniel Bernoulli, 1738.